太極圖的數學表達

作者：陳克恭、馬如雲(yun)

來源：《光明日報》

時間：孔子二五六七年歲次丙申九月十七日壬申

           耶穌2016年10月17日

圖1 勾股定理和圓的幾何圖

圖2

圖3

圖4

圖5-1

圖5-2

圖6

圖7 式（5）所表達的中國太極陰陽標準圖（陰陽麵積之和為(wei) 1，陰陽反向值之和為(wei) 1）

一

人曆三聖，世曆三古的《周易》經傳(chuan) 極深研幾，體(ti) 大思精，代表著中國古代哲學的最高智慧。孔子說：“聖人立象以盡意，設卦以盡情偽(wei) ，係辭焉以盡其言。變而通之以盡利，鼓之舞之以盡神。”《易傳(chuan) ·係辭上》解釋說：“乾坤，其《易》之縕邪？乾坤成列，而《易》立乎其中矣。乾坤毀，則無以見《易》。《易》不可見，則乾坤或幾乎息矣。是故形而上者謂之道，形而下者謂之器，化而裁之謂之變，推而行之謂之通，舉(ju) 而錯之天下之民謂之事業(ye) 。是故夫象，聖人有以見天下之賾，而擬諸其形容，象其物宜，是故謂之象。聖人有以見天下之動，而觀其會(hui) 通，以行其典禮，係辭焉以斷其吉凶，是故謂之爻。極天下之賾者存乎卦，鼓天下之動者存乎辭，化而裁之存乎變，推而行之存乎通。”以乾坤立象，是《周易》會(hui) 通天道與(yu) 人道的基本路徑，而太極圖正是體(ti) 現“一陰一陽”互補原理自洽性的最準確的表現形式。自宋代理學家周敦頤著《太極圖說》以後，在《周易》闡釋史上，太極圖就具有了獨特的意義(yi) 。真理總是曆久彌新。我們(men) 甚至可以從(cong) 量子力學的創始人玻爾與(yu) 太極圖之間千絲(si) 萬(wan) 縷的聯係中清晰地體(ti) 味到太極圖的意義(yi) 。玻爾努力用太極圖表達量子場的對應原理和並協原理，並把太極圖刻成徽章懸掛，這至少說明太極圖與(yu) 玻爾的學說具有共通性。玻爾的“並協原理”強調“互斥即互補”，“對立者是相互補充的”，正是《易傳(chuan) ·係辭上》“一陰一陽之謂道”所彰顯的對立統一的原理。“對應原理”解釋量子現象與(yu) 經典物理之間的對應關(guan) 係，如果否定這一原理與(yu) 《周易》的哲學體(ti) 係之間有任何聯係，那就意味著否定了《周易》思想所具有的廣度和深度。事實上長期以來，國內(nei) 學術界一直存在否定玻爾“並協原理”與(yu) 太極圖之間有密切關(guan) 係的觀點。這種觀點的存在或多或少都源於(yu) 對太極圖科學性認識的欠缺，從(cong) 一個(ge) 側(ce) 麵反映出20世紀以來對中國古代文明缺乏應有的敬畏，以及對中國古代哲學思想的科學性自信之不足。

二

太極圖的S曲線，並不是隨意性的美工圖，它實際上貫徹了以勾股定理為(wei) 基礎的中國古代數學智慧。

中國人對勾股定理的描述，最少可以上溯至三千年前西周初年的商高，而古巴比倫(lun) 人應用勾股定理，大約在公元前三千年前。公元前六世紀古希臘人畢達哥拉斯對勾股定理的證明，使勾股定理在歐洲有了“畢達哥拉斯定理”的名稱。如果從(cong) 勾股定理入手，通過單位正方形內(nei) 的內(nei) 切圓，應用阿基米德定理的杠杆平衡原理和模糊數學的核心思想，可以用一個(ge) 初等函數精確地表達太極圖的S曲線。這一論證將表明，太極圖是可以用數學語言表達的，並不是無標準方程、無標準幾何圖形的。其意義(yi) 不僅(jin) 在於(yu) 充分表達了中國太極圖的科學性，也充分表達了太極圖反映事物存在和發展的本根依據。

一般來說，我們(men) 認為(wei) ，當一條線段繞著它的一個(ge) 端點在平麵內(nei) 旋轉一周時，它的另一端的軌跡叫作圓；在同一平麵內(nei) ，到定點的距離等於(yu) 定長的點的集合叫圓。圓的定義(yi) 也可由眾(zhong) 所周知的勾股定理而得，“一個(ge) 直角三角形兩(liang) 個(ge) 直角邊的平方之和等於(yu) 斜邊的平方”，也就是說，當斜邊定長時，兩(liang) 個(ge) 直角邊此消彼長的點的集合恰恰就是圓的軌跡。幾何圖形如圖1，代數表達式為(wei) ：

a2+b2=c2，或(a/c)2+(b/c)2=1（1）

我國東(dong) 漢末的數學家趙爽在注《周髀算經》時就說：“勾股各自乘，並之為(wei) 弦實。開方除之，即弦。” 趙爽並依此還創造了“勾股圓方圖”。

若用x和y分別表示兩(liang) 個(ge) 直角邊與(yu) 斜邊所對應正方形麵積的商值，並分別定義(yi) 這個(ge) 商值為(wei) 這個(ge) 三角形的陽值和陰值：

即令x=a2/c2,y=b2/c2

則有x+y=1（2）

這意味著無論兩(liang) 個(ge) 直角邊怎樣變化，其商值之和恒等於(yu) “1”，即它們(men) 的陽值和陰值之和恒等於(yu) “1”。其幾何形式如圖2。

∵a,b∈(0，c)，∴x,y∈(0，1).

x=a2/c2=(c2-b2)/c2=sin2α

=(1-cos2α)/2:=P(α)

α∈(-∞，+∞)

y=b2/c2=(c2-a2)/c2=cos2α

=(1+cos2α)/2:=N(α)

α∈(-∞，+∞)(3)

如果說式（1）和圖1是歐幾裏得幾何的基石，那麽(me) 圖2和式（2）則提出了模糊集合的概念，開啟了現代數學的發展之路。把它們(men) 聯係起來，則有如下概念：

勾股定理的本質內(nei) 涵是指一個(ge) 單位直角三角形的斜邊所對應的麵積恒等於(yu) 兩(liang) 個(ge) 直角邊所對應的麵積之和。我們(men) 假定可以選擇一個(ge) 特定的城市，如甘肅省張掖市。這個(ge) 城市由沙漠和綠洲兩(liang) 部分構成，有水即為(wei) 綠洲，無水則為(wei) 沙漠，但沙漠麵積和綠洲麵積之和總不會(hui) 變。若把張掖這個(ge) 城市的總麵積看作一個(ge) 單位麵積“一”，那麽(me) ，綠洲麵積和沙漠麵積之和則恒等於(yu) “1”，當綠洲麵積變大時，沙漠麵積就會(hui) 變小，反之亦然（圖４）。而這個(ge) 此消彼長的點的集合恰恰就是圓的軌跡。

又因為(wei) x=1-y，y=1-x，說明陽函數和陰函數相反相成、偶對平衡、對立統一，像量子糾纏一樣，總是彼此以對方的存在為(wei) 依據，相互糾纏、相互疊加，總值恒等於(yu) “1”，即綠洲麵積是關(guan) 於(yu) 沙漠麵積的偏差值，而沙漠麵積是關(guan) 於(yu) 綠洲麵積的偏差值，它們(men) 的偏差值之和恒等於(yu) “1”。然而，張掖的大部分區域是在綠洲和沙漠之間，就像是在x+y=1這條線段上的點一樣，總處於(yu) ［0，1］這個(ge) 區間內(nei) ，所不同的是相對於(yu) 某一個(ge) 平衡值而言，是綠洲屬性更強一點，還是沙漠屬性更強一點。對於(yu) 一個(ge) 係統，我們(men) 完全可以在某一單純屬性上，就兩(liang) 個(ge) 相反相成的狀態，進行集合分類，就像土壤的含水量可以分為(wei) 幹濕兩(liang) 個(ge) 相反相成的集合，經濟運行狀態也可以分為(wei) 積累和消費兩(liang) 個(ge) 相反相成的集合。大道至簡，簡而言之，就像我們(men) 對待一切事物的主觀態度一樣，都可以以某一個(ge) 客觀平衡值，將事物分為(wei) 正反、白黑、上下、左右、大小、輕重，甚至是好和壞兩(liang) 個(ge) 相反相成的狀態進行集合分類（我們(men) 可以將此集合分類法記為(wei) ：↑0↓）。盡管如此，但事物狀態的真實存在大多是在黑白的區間內(nei) ，不是簡單的非白即黑的羅素悖論，而更多的是亦白亦黑，所不同的是黑白大小比例不同而已，這也是模糊數學之由來。

如此看來，弦、勾股定理和圓的本質內(nei) 涵是一致的，動則為(wei) 圓，靜則為(wei) 矩，都是關(guan) 於(yu) “一”的哲學和科學。實際上，源於(yu) 我國魏晉時期的玄學，已經是在先秦易學思想“一陰一陽之謂道”“道生一，一生二，二生三，三生萬(wan) 物”關(guan) 於(yu) 陰陽消長、此消彼長的哲學思辨和《周髀算經》《九章算術》關(guan) 於(yu) 圓、勾股定理的數形學理分析基礎之上才興(xing) 起的，它一直深刻地影響著中國後期的文化。中國的水墨畫就是這一思想的典型代表，如果說把黑白定義(yi) 為(wei) 0和1或者陰和陽，那麽(me) ，大千世界就會(hui) 隨著墨香的濃淡深淺在黑白之間，在［0，1］的區間內(nei) ，在陰陽此消彼長的變化中惟妙惟肖地飄逸呈現出來，把人帶入天地間的無限遐想之中。從(cong) 這個(ge) 角度講，我們(men) 完全有理由說，中國的水墨畫就是一張陰陽圖，就是一張模糊數學的集合圖。不僅(jin) 如此，它也是辯證唯物主義(yi) “一分為(wei) 二”的數學模型圖，視事物為(wei) 一個(ge) 相反相成的矛盾統一體(ti) ↑0↓，矛盾著的兩(liang) 個(ge) 方麵相互作用此消彼長推動事物的發展。

三

在圖2中，如果以P點為(wei) 圓心，以該正方形邊長的1/2長度為(wei) 半徑，作該正方形的內(nei) 切圓，則有圖５。

在圖5中，若把AB視為(wei) 一根長度為(wei) “1”的杠杆，把C、D兩(liang) 點的長度y2-y和y-y1分別視為(wei) 杠杆兩(liang) 端重物的重量，根據杠杆原理，則存在有：

AR =1-x,  BR =x. x∈[0,1]

AR / BR = CQ /DQ ,

即(1-x)/x=(y-y1)/(y2-y).

y=xy1+(1-x)y2（4）

設C(x,y1),D(x,y2)，則C,D滿足圓方程：

(x-1/2)2+(y-1/2)2=1/4

其中

y1=1/2-,

y2=1/2+

代入式（4）得中國太極圖S曲線標準方程為(wei) ：

y=1/2+(1-2x)，

x∈[0,1].（5）

令y'=0，即得：

x1=1/2-,x2=1/2+.

則y分別有最大值3/4和最小值1/4，由此可確定出中國標準太極圖（圖７）中的拐點坐標分別為(wei) （1/2-，3/4）和（1/2+，1/4），“魚眼”坐標分別為(wei) （1/2-，1/2）和（1/2+，1/2）。

式（4）說明了圓和正方形之間的關(guan) 係，杠杆和重物盡管各屬於(yu) 兩(liang) 個(ge) 不同的係統，但距離和重物兩(liang) 個(ge) 係統之間始終圍繞著一個(ge) 力矩相等的平衡點保持著一個(ge) 新係統的平衡，即盡管左右兩(liang) 邊力臂長短不同，受力大小不同，但兩(liang) 個(ge) 係統陰陽值的比例相等，這既是阿基米德的杠杆原理，也是杆秤稱重物的原理，如圖６。對此，我國先秦時期的墨子早已有詳細論述。

式（5）說明當把直角坐標係中的x+y=1這條直線放在其內(nei) 切圓內(nei) 時，該直線則變形為(wei) 式（5）的S曲線，如圖７。

四

世界猶如一個(ge) 單位直角三角形，兩(liang) 個(ge) 直角邊有一個(ge) 相反相成的屬性，像量子糾纏一樣，相互疊加、偶對平衡存在於(yu) 一個(ge) 事物之中；這個(ge) 相反相成的屬性此消彼長、偶對平衡，但都始終恒等於(yu) “1”，從(cong) 這個(ge) 角度講，中國太極圖及其思想表達的核心就是偶對平衡、對立統一，就是關(guan) 於(yu) “存在者之存在”的幾何表達，是對“存在”之根據的表述，是“being of beings”中的“being”，是“一即一切”中的“一”，它源於(yu) 勾股定理，卻早已超越了勾股定理，不僅(jin) 表達了歐拉公式的思想（eiθ·e-iθ=(cosθ+isinθ(cosθ-isinθ)=cos2θ+sin2θ=1），並且早已開啟了相對世界的大門，表達了在近現代才發展起來的現代數學模糊集合的重要思想。“弦”不能等同於(yu) “玄”，其實並不“玄”。

英國學者李約瑟曾質疑中國古代技術為(wei) 什麽(me) 沒有產(chan) 生科學，近代大儒梁漱溟先生則認為(wei) 中國文化是早熟的文化。有的時候，可能真會(hui) 覺得，真理之所以難以被人普遍接受，就是因為(wei) 太簡單。在人們(men) 追逐物欲的物理世界裏，後物理學顯得如此孤傲和凋零。但是，正如《論語·子張》中孔子的弟子子夏所說：“博學而篤誌，切問而近思。”《禮記·大學》說：“知止而後有定。”麵對科學的日新月異，我們(men) 的確需要回到事物本身。玻爾建立的對應原理和並協原理與(yu) 太極圖的聯係，證明太極圖的原理是具有科學性的，而太極圖的Ｓ曲線可以被數學函數所描述，更可以證明太極圖的圖形本身是體(ti) 現了中國古代哲學家的數學智慧。當我們(men) 用數學函數Ｓ曲線證明了太極圖的科學性，我們(men) 就不能把這種合乎科學性的事實看作是一個(ge) 偶然性，相反，我們(men) 應該認識到，隻有合乎可以被函數描述的Ｓ曲線的太極圖，才是古代太極圖的本來麵目。

哲學寓於(yu) 現實又超於(yu) 現實，是源於(yu) 現實問題而又被高度凝練用來指導現實的學說。《周易》體(ti) 現的是中國傳(chuan) 統文化中的“道統”，故而它理應是可以被“學統”所證明，被“政統”所遵循的。一個(ge) 國家、一個(ge) 民族的文化應是基於(yu) 其道統基礎上的延伸，一個(ge) 國家、一個(ge) 民族文化內(nei) 涵的基因一定是它的道統本源，也是文化外延的依據，將道統、學統、政統三者融會(hui) 貫通，且將文化內(nei) 涵的基因與(yu) 文化的外延廣泛聯係起來的學說，則就是具有中國特色的哲學社會(hui) 科學。習(xi) 近平總書(shu) 記在哲學社會(hui) 科學工作座談會(hui) 上的講話中指出：“哲學社會(hui) 科學是人們(men) 認識世界、改造世界的重要工具，是推動曆史發展和社會(hui) 進步的重要力量，其發展水平反映了一個(ge) 民族的思維能力、精神品格、文明素質，體(ti) 現了一個(ge) 國家的綜合實力和國際競爭(zheng) 力。”作為(wei) 《周易》思想的曆史展開，太極圖的出現使“一陰一陽謂之道”有了更加形象的表達。馬克思說：“當一門學科還不能被數學所充分表達的時候，說明它尚不完善。”太極圖是可以被數理方程所充分表達的標準圖，這無疑可以增強我們(men) 對以《周易》為(wei) 重要組成部分的中國傳(chuan) 統文化的自信。

作者簡介：陳克恭，甘肅省中國特色社會(hui) 主義(yi) 理論體(ti) 係研究中心研究員，西北師範大學黨(dang) 委書(shu) 記、研究員、博士生導師；馬如雲(yun) ，西北師範大學數學與(yu) 統計學院院長、教授、博士生導師，第七屆“秦元勳數學獎”獲得者。

責任編輯：柳君